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墨滴

张春成

2021/09/14  阅读:26  主题:默认主题

一些不变性(之二)

一些不变性(之二)

之前提到双曲余弦函数, 它在复数空间内的性质十分有趣。


双曲余弦函数

双曲余弦函数具有如下形式

其中,复数

此时,考虑欧拉公式

其中, 是虚数单位,满足方程

使复数 满足

双曲余弦函数在复数空间内的实部 (这真的不是绕口令), 为

出于直观起见, 双曲余弦函数在复数空间内的实部函数图像 如下图所示

【这是一段棒到不行的视频】

显而见地, 我们可以两个方向观察这个图像

  • 一是类余弦图像
Cosh Cos
Cosh Cos
  • 二是类悬链线图像
Cosh Chain
Cosh Chain

下面分别解释

类余弦图像

这部分的分析十分简洁, 我们为双曲余弦函数配备其对偶的双曲正弦函数

易证, 与三角函数类似, 二者满足以下方程

至于这个负数, 权当是由于虚数单位满足 的对应关系。

类悬链线图像

至于另外一个方面, 我们从微分性质入手, 易得

从而易知, 双曲余弦函数的积分和微分具有相同的形式

借用悬链线求解的正过程

它的物理意义十分明确,即

考虑一条连续凸曲线, 它在某一点处所受向上的拉力, 一定正比于其以下全部曲线的曲线积分。 简单来说,双曲余弦方程必是一种可行的悬链线方程。

张春成

2021/09/14  阅读:26  主题:默认主题

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张春成