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墨滴

小韩数学

2021/07/29  阅读:103  主题:自定义主题1

想用等价无穷小却忘记了怎么办?

01 前言

记住一些常见的等价无穷小会给我们计算极限带来很大的方便,下表给出了一些在 处的常见等价无穷小

不难发现,我们总将一个无穷小量替换成一个幂函数(或其常数倍),主要是因为这样做比较方便,可以想象,当两个无穷小量相比时,如果把分子、分母都替换成幂函数(或其常数倍),那这个极限问题就迎刃而解了. 但是我们在求极限时,如果把某一个无穷小量的等价无穷小忘记了怎么办?并且我们仅知道一些常见的等价无穷小,未见过的,比如像下面这种等价无穷小

不知道又怎办呢?本文将围绕这个问题给出一种可行、可操作的方案

02 洛必达与等价小的结合

求两个无穷小量相比的极限,也是一种 型的极限,只要满足洛必达法则的条件,就可以使用洛必达法则,但用洛必达法则求导并不总是方便的,因而在此类问题中又常常穿插着等价无穷小,而常见的等价无穷小需要我们平常的积累,若是能将两者的优势结合起来,将会成为解决此类极限的又一利器

假设我们不知道 的等价无穷小,不妨设其等价无穷小为 ,那么

这里我们假设 都是可导的,这时,如果我们能根据 得到 ,再对 进行积分就能得到 的等价无穷小 . 那怎样根据 得到 呢?

这里我们主要讨论两种情况,第一种情况是 ,即 在考察点处的极限是一个不为 的常数,这时根据

我们就取常数 作为 ,再对 积分就能得到我们想要的 ,比如我们现在想要知道 的一个等价无穷小,就可以

作为 ,对其积分可得 (这里对其积分本应该是 是一个无穷小量,所以这里只能取 ,后文类似的情况不再说明),这就是 处的一个等价无穷小量. 再比如,我们想知道 处的一个等价无穷小量,就可以

作为 ,对其积分可得 . 所以

现在看看第二种情况:

这时如果我们知道 的一个等价无穷小(或等价无穷大),就取其作为 ,再对 进行积分就能得到 的一个等价无穷小(或等价无穷大) . 比如我们现在想要知道 处的一个等价无穷小,就可以

作为 ,对其进行积分可得 ,再比如,我们想知道 处的一个等价无穷小,就可以

就取 (这里的 是笔者将 分母中无关紧要的 抹去得到的) 作为 ,对其进行积分可得 的一个等价无穷小. 也即

03 更进一步

可以看到用上述方法得到一个无穷小(大)量的等价无穷小(大)通常并不困难,但这种方法并不总是一帆风顺,比如,我们最开始给出一些常见等价无穷小的最后一个:

我们现在用上述方法试一下,令

对于上述求导的结果,笔者并不知道它的一个等价无穷小,不过我们可以提取一个 ,便有

由于 ,所以这是一个"无关紧要的量",将其抹去,就有

那我们是否就取 作为 呢?首先,对 积分并没有那么简单,其次,在最开始我们说过,若将一个无穷小量用幂函数代替会比较简单,就是说即使我们将 积了出来,将积出来的结果作为 的等价无穷小量未必能简化问题,甚至可能使问题更加复杂,所以这里取 作为 是不妥的.

现在我们设法找出

的一个比较简单的等价无穷小,我们已经知道它的一个等价无穷小为 ,显然, 的一个等价无穷小也是 的一个等价无穷小,为了不使符号混淆,我们记

问题就转化成了求 的等价无穷小,而这个问题和"求 的一个等价无穷小"的本质是完全一样的!所以我们对 也使用上述方法,便有

进行积分就能得到

所以

这就得到了 的一个比较简单的等价无穷小(是一个幂函数的常数倍),取 作为 ,对其积分可得 ,也即

感兴趣的小伙伴可以将最开始给出的表格都验证一遍,我们下期再会!

小韩数学

2021/07/29  阅读:103  主题:自定义主题1

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